Bab 2 A Sistem Bilangan

Banyak sistem bilangan yang bisa digunakan pada piranti digital. Sebagai contoh yang sering digunakan adalah sistem-sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksa-desimal. Sedangkan dalam kehidupan sehari-hari kita sangat akrab dengan sistem bilangan desimal, (dasaan, basis-10, atau radiks-10). Meskipun sistem desimal sangat akrab dengan kita, tetapi sistem tersebut tidak mudah diterapkan dalam mesin digital. Sistem bilangan yang paling mudah diterapkan dalam mesin digital adalah sistem bilangan biner (basis-2) karena sistem tersebut hanya mengenal 2 keadaan dan kemudian disimbolkan dengan 2 angka yakni 0 dan 1. Hal ini sesuai dengan keadaan sistem pensaklaran di dalam mesin.

Untuk memudahkan pembahasan, kita membagi sistem bilangan menjadi basis-10 dan basis-n, dimana n ⩾ 2 dan n ≠ 10. Sehingga dikenal banyak sistem bilangan seperti basis-2, basis-3,...,basis-8,...,basis-10,...,basis-16, dan seterusnya. Sistem bilangan tersebut termasuk ke dalam sistem bilangan berbobot, artinya nilai suatu angka tergantung dari posisi relatifnya terhadap koma atau satuan angka. Misalnya bilangan 5725,5 dalam desimal. Ketiga angka 5 memiliki nilai yang berbeda, angka 5 paling kanan bernilai lima persepuluhan, angka 5 yang tengah bernilai lima satuan sedangkan angka 5 yang lainnya bernilai lima ribuan.

Untuk membedakan suatu bilangan dalam sistem bilangan tertentu digunakan konversi notasi. Untuk basis-n kita menggunakan indeks n atau tanda lain yang disepakati. Sebagai contoh bilangan  '11' basis-2 akan ditulis dalam bentuk '11₂' untuk mencegah terjadinya salah pengertian dengan bilangan '11₈', '11₁₀', atau '11₁₆' dan seterusnya. Kadang-kadang indeks tersebut tidak dicantumkan jika basis bilangan tersebut sudah jelas. Misalkan secara khusus sedang membahas bilangan basis-8, maka bilangan-bilangan dalam pembahasan tersebut tidak disertai indeks. Sering pula dalam konvensi tersebut dijumpai bahwa suatu bilangan yang tidak disertai indeks berarti bilangan tersebut dalam desimal atau basis-10. Selanjutnya dikenal beberapa cara menyatakan suatu bilangan dalam basis-16 atau heksa-desimal. Cara menyatakan basisnya dengan menyertakan indeks 16, atau di belakang bilangan tersebut dicantumkan huruf 'h', atau sebelum atau sesudah bilangan itu dicantumkan huruf 'H' atau tanda '#' atau tanda '$'. Contoh 96₁₆ = 96h = H96 =#96 =$96 = 96H

1. Basis-10 ( Desimal )

Dalam sisrtem bilangan desimal (basis-10) mempunyai simbol angka (numerik) sebanyak 10 buah simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Nilai suatu bilangan dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai ∑(N x 10^a) dengan N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan a =...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...(bilangan bulat yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan).

Contoh :
    325₁₀              = 3 x 10² + 2 x 10¹ + 5 x 10⁰
    0,61₁₀             = 0 x 10⁰ + 6 x 10^-1 + 1 x 10^-2 = 6 x 10^-1 + 1 x 10^-2
    9407,108₁₀    = 9 x 10³ + 4 x 10² + 7 x 10⁰ = 1 x 10^-1 + 8 x 10^-3

2. Basis-2 ( Biner )

Dalam sistem biner (basis-2) mempunyai simbol angka (numerik) sebanyak 2 buah simbol, yaitu 0, dan 1. Nilai suatu bilangan basis-2 dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai ∑(N x 2^a) dengan N=0 atau 1; dan a = ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...(bilangan bulat yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan).

Contoh :
    1101₂   = 1 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2⁰ 
                  = 8 + 4 + 1
                  = 13₁₀

    0,101₂   = 0 x 2⁰ + 1 x 2^-1 + 0 x 2^-2 + 1 x 2^-3 
                   = 0 + 0,5 + 0 + 0,125
                   = 0,625₁₀

    11,01₂   = 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ + 1 x 2^-2
                   = 2 + 1 + 0,25
                   = 3,25₁₀

3. Basis-8 ( Oktal )

Dalam sistem oktal (basis-8) mempunyai simbol angka (numerik) sebanyak 8 buah simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Nilai suatu bilangan basis-8 dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai ∑(N x 8^a) dengan N= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7; dan a = ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...(bilangan bulat yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan).

CONTOH :
    647,35₈  = 6 x 8² + 4 x 8¹ + 7 x 8⁰ + 3 x 8^-1 + 5 x 8^-2
                  = 384 + 32 + 7 + 0,375 + 0,078125
                  = 423,453125₁₀

4. Basis-16 ( Heksa-Desimal )

Dalam sistem heksa-desimal (basis-16) mempunyai simbol angka numerik sebanyak 16 buah simbol. karena angka yang telah dikenal ada 10 maka perlu diciptakan 6 simbol angka lagi yaitu A, B, C, D, dan F dengan nilai A₁₆ = 10₁₀ ; B₁₆ = 11₁₀ ; C₁₆ = 12₁₀ ; D₁₆ = 13₁₀ ; E₁₆ = 14₁₀ ; F₁₆ = 15₁₀. Dengan demikian simbol angka-angka untuk sistem heksa-desimal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Nilai suatu bilangan basis-16 dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai ∑(N x 16^a) dimana N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, atau 15, dan a = ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...(bilangan bulat yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan).

CONTOH :
    584AED₁₆   = 5 x 16⁵ + 8 x 16⁴ + 4 x 16³ + 10 x 16² + 14 x 16¹ + 13 x 16⁰
                        = 5242880 + 524288 + 16384 + 2560 + 224 + 13
                        = 5786349₁₀

    E,1A₁₆         = 14 x 16¹ + 1 x 16^-1 + 10 x 16^-2
                        = 14 + 0,0625 + 0,0390625
                        = 14,06640625₁₀